Bài tập điện động lực học

Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Đề 1. Biêu diên rot, grad, div trong hệ toa độ Đêcac và chưng minh răng : Rotgrad u = 0 Div rot A ur = 0 Bai giai: Ta co: Grad u r = u u ui j k x y z ∂ ∂ ∂ + +∂ ∂ ∂ urr ur Rot A ur = = Div A ur = + + 1. Rot grad u = = i y ∂ ∂ r j z ∂ ∂ r + k x ∂ ∂ r u u u y z x i j k z x y  ∂ ∂ ∂    ÷  ÷  ÷∂ ∂ ∂     ∂ ∂ ∂ − − −∂ ∂ ∂ urr ur = 2 2 2 2 2 2 . . . . . . u u u u u ui j k y z z y z x x z x y y x       ÷  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ urr ur = 0 2. Div rot A ur = A AA AA Ay yx xz z x y z y z x z x y      ÷  ÷ ÷ ÷  ÷     ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ − + − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 22 22 2 . . . . . . A AA AA Ay yx xz z x y x z y z y z z x z y ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 0 Đề 2. Tinh div .I R   r ur =? Trong đo I r là vector không đôi, R ur là ban kinh vector. Bai giai: Ta co: x y zI iI jI kI= + + r r r r và R xi y j zk= + + ur r r r Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. . x y z i j k I R I I I x y z   ÷ ⇒ =  ÷   ÷  r r r r ur = ( ) ( ) ( )y z x z x yi I z I y j I z I x k I y I x− − − + −r r r ( ) ( ) ( ). 0 y z x z x y x y z div I R I z I y I z I x I y I x x y z y z z x x yI I I z y x z y x ∂ ∂ ∂  = − − − + −  ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  = − + − + − = ⇒ ÷ ÷  ÷∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     r ur W Đề 3. Tinh .div I R M     r ur uur , Trong đo I va M r uur # là vector không đôi, R ur là ban kinh vector. Bai giai: Ta co: x y zM iM jM kM= + + uur r r r và R xi y j zk= + + ur r r r .M R ⇒   uur ur = ( ) ( ) ( )z y z x y x x y z i j k x y z i yZ zM j xZ zM k xM yM M M Z   ÷ = − − − + − ÷ ÷  r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . x y z z y z x y x y y x z z x x y x z z y x z x y z y i j k I R M I I I yZ zM xZ zM xM yM i I xM yM I xZ zM j I xM yM I yZ zM k I xZ zM I yZ zM   ÷  ⇒ =  ÷    ÷ ÷ − − −     − − −   = − − − −    + − − −   r r r r uuruur r r r ( ) . 2 2 y y z z x x x x z z y y x x y y z z div I R M I M I M I M I M I M I M I M I M I M IM    = + + + + +   = + + = ⇒ r uuruur W Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Đề 4. Tinh: ( ){ } .Rrot U R va rot I R  ur r ur# Trong đo: I r la vector không đôi va R ur la ban kinh vector. Bai giai: Ta co: ( ) ( ) ( )R RU R U xi y j zk= + +ur r r r ( ) ( ) ( )R RU R U xi y j zk= + +ur r r r ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R R R R R R R R R i zU yU y zi j k rot U R j zU xU x y z x z xU yU zU k yU xU x y U R U RR Ri z y R y R z U R U RR Rj z x R x R z U R Rk y x R x   ∂ ∂ −    ∂ ∂  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ÷ ⇒ = = − −   ÷∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ÷  ÷  ∂ ∂  + −  ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ = − − ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ + − ∂ ∂ r r r r ur r r r r r ( ) ( ) ( )1 U R R R y U R R R R R R Rz y i z x j y x k R y z x z x y  ∂ ∂  ∂ ∂    ∂    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  = − − − + −  ÷ ÷  ÷∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂      r r r a. Măc khac, ta co: 2 2 2 2 ; ; R x R y R zR x y z x R y R z R  ∂ ∂ ∂ = + + ⇒ = = = ∂ ∂ ∂  Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. ( )2 R R y zz y z yy z R R R R x zz x z x x z R R x yR R y xy x R Rx y ∂ ∂  − − ∂ ∂ ∂ ∂  ⇒ − = − ∂ ∂  ∂ ∂  −− ∂ ∂  Từ (1) và (2), ta đươc: ( ){ } 0Rrot U R = ⇒ur W b. Ta co: x y z I iI jI kI= + + r r r r và R xi y j zk= + + ur r r r ( ) ( ) ( ). x y z y z x z x y i j k I R I I I i I z I y j I z I x k I y I x x y z   ÷ ⇒ = = − − − + − ÷   ÷  r r r r ur r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y x z x y y z y z x z x y x z y z x x y y z z x y i I y I x I z I x y zi j k rot I R j I y I x I z I y x y z x z I z I y I z I x I y I x k I z I x I z I y x y i I I j I I k I I iI jI   ∂ ∂ − − −    ∂ ∂  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ÷ ⇒ = + − − − −     ÷∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ÷ ÷  − − −  ∂ ∂  + − − −  ∂ ∂   = + + + + + = + r r r r rur r r r r r r r( ) 2zkI I+ = ⇒r r W Đề 5. Tinh: 3 PRgrad R urur Trong đo: ,P ur la vector không đôi , R ur la ban kinh vector. Bai giai: Ta co: ( ) 33 2 2 2 2 x y zPR xP yP zP R x y z  = + + = + + urur Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 33 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 3 6 3 6 3 3 .2 2 3 .2 2 3 .2 2 x y z x y z x y z x x y z y x y z z x y z xP yP zP xP yP zP xP yP zPPRgrad i j k R x y zx y z x y z x y z P R xP yP zP R x i R P R xP yP zP R y j R P R xP yP zP R k       + + + + + +∂ ∂ ∂      ⇒ = + +     ∂ ∂ ∂     + + + + + +      − + + − + + = − + + urur r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) 6 3 5 3 5 31 3 x y z z R PR xi y j zk iP jP kP R R PRP R R R  + + = + + − = − ⇒ urur r r r r r r ururur ur W Đề 6: Tinh thông lương cua ban kinh vector R ur qua một măt trụ co ban kinh a và chiêu cao h, đăt như hinh vẽ ( Tinh băng công thưc O – G và băng phương phap trưc tiêp). Bai giai: a. Tinh băng đinh li O – G: Đinh li O – G: S V RdS divRdV=∫ ∫ ur ur ur Ñ Ta biêt: yx z RR RR xi y j zk div R x y z ∂∂ ∂ = + + ⇒ = + + ∂ ∂ ∂ ur r r r ur 23 3 S V RdS dV a hpi⇒ = = ⇒∫ ∫ ur ur WÑ b. Tinh trưc tiêp: Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. ( ) 1 2 3 1 S S S S RdS RdS RdS RdS= + +∫ ∫ ∫ ∫ ur ur ur ur ur ur ur ur Ñ ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 2 1 1 1 2 2 2 2 cos cos 0 2. 2 0 S S S S S S S RdS R dS RdS R dS RdS vi R S hR dS hS h a R hR dS hS h a R ϕ ϕ pi pi  =∫ ∫ =∫ ∫ = ⊥∫  = =∫ = = =∫ ur ur ur ur ur ur ur ur # Từ (1) và (2), ta đươc: 23 S RdS a hpi= ⇒∫ ur ur WÑ Đề 7. Hai vong tron mang, ban kinh cung băng R, tich điện đêu và Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. xêp đăt như hinh vẽ. Điện tich vành ngoài 1O là 1e điện tich vành ngoài 2O là 2e . Công cân thiêt đê đưa điện tich e từ vô cưc đên 1O và 2O lân lươt là 1A và 2A . Tinh cac điện tich 1e và 2e Bai giai: - Xet vanh 1O : Thê vô hương tai 1O gây bơi 2 vanh điên tich 1e và 2e vơi khoang cach R và 2 2R a+ : 1 11 2 2 21 2 2 1. 4 14 . 4 r r e Re drEdl er R a ϕ pi εϕ pi ε ϕ pi ε ∞ ∞  = = = ⇒∫ ∫  = + ur r Theo nguyên lý chông chât điện trương ta co: - Thê vông hương tai O1 do 1e và 2e gây ra là: 1 2 1 11 21 2 2 1 4 e e R R a ϕ ϕ ϕ pi ε   = + = + ÷ +  Vơi 1 110 Oϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∞ ∞= ⇒ = − = là hiệu điện thê tai 1O Điện thê 1ϕ băng công dich chuyên 1 điện tich dương từ 1O∞ → ( )1 1 21 2 2 1 1 4 A e e e R R a ϕ pi ε   = = + ÷ +  - Tương tự đôi vơi vanh 2O : ( )2 2 11 2 2 1 2 4 A e e e R R a ϕ pi ε   = = + ÷ +  Từ (1) và (2), ta đươc: Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 22 2 2 2 2 2 2 12 4 4 e R R a A R a A R ea e R R a A R a AR ea pi ε pi ε = + + − = + + − Đề 8. Dung đinh lý O – G đê tinh điện trương ở trong và ngoài một qua câu ban kinh R, tich điện đêu vơi mât độ điện tich măt ρ =const. Hăng số điện môi ở trong và ngoài qua câu đêu băng ε . Bai giai: - Theo đinh lý O – G ta co: divD divE D E ρ ρ εε =  ⇒ = =  ur ur ur ur - Xet trong hệ toa độ câu, do điện tich trong qua câu phân bố đêu: ( )E E r=ur ur ( ) ( )2 2 22 3 2 1 3 . 3 3 r divE r E r E r r r r E r rr E E r ρ ρ ρε ε ερ ρ ε ε ∂ ∂  = = ⇒ = ∂ ∂  ⇒ =⇒ = ⇒ =  ur uur r - Xet nhưng điện tich ngoài qua câu: S DdS e=∫ ur ur Ñ Do D ur cung phương vơi vector phap tuyên cua măt câu, ta co: 2 3 3 33 3 2 2 44 3 3 3 3 S N DdS D r R RE r rR RD E r r pi ρ pi ρ ερ ρ ε  = =∫  ⇒ =⇒ = ⇒ =  ur ur Ñ uuur r Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Đề 9. Tinh điện dung cua một tụ điện co chiêu dài băng d và khoang cach giưa hai ban chưa hai điện môi khac nhau. Bai giai: - Theo đinh lý O – G ta co: 1 2 3S S S S DdS q DdS DdS DdS= = + +∫ ∫ ∫ ∫ ur ur ur ur ur ur ur ur Ñ Vi D r= ur r , nên: 1 2 0 S S DdS DdS= =∫ ∫ ur ur ur ur ( )1 2 3 .2 . 2 . 2 . . S DdS q D r d q R r R q qD E r d r d pi pi ε pi = ⇒ =∫ ⇒ = ⇒ = ur ur p p Măt khac, ta co: E gradϕ= − 1ln2 q r C d ϕ pi ε ⇒ = − + Vơi 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 ln 2ln 2 R R a a q R C d q aR r a q d Ra C d ϕ pi ε ϕ ϕ ϕ pi εϕ pi ε  = − + ⇒ ⇒ ∆ = − = = − + p p 1 11 2 2 2 1 1 2 1 2 ln 2 ln 2ln 2 R a R a q R C d Rqa r R q d aa C d ϕ pi ε ϕ ϕ ϕ pi εϕ pi ε  = − + ⇒ ⇒ ∆ = − = = − + p p Vây hiệu điện thê giưa hai ban tụ là: Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. 2 1 2 1 1 2 1 1ln ln 2 Rq a d R a ϕ ϕ ϕ pi ε ε   ∆ = ∆ − ∆ = + ÷  Điện dung cua tụ là: 2 1 1 2 2 1 1ln ln q dC Ra R a pi ϕ ε ε = = ⇒ ∆ + W Bai giai: Ta co: Đề 10. Một hinh câu ban kinh R, tich điện đêu trên bê măt ngoài vơi mât độ băng ρ và quay quanh trục cua no vơi vân tốc ω . Tinh cam ưng từ bên trong hinh câu? Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. ( ) 0 .0 04 . 1 4 4 . dSA i R dSImatr A dS RS r rS Si V R µ δ ωµ µ pi δ ω pi pi δ δ ω   = ∫        → = =∫ ∫    = =    uuuuuuuuur ur r ur ur ur ur ur r ur ur ur Theo đinh lý O – G : . .n dS dVVS ϕ ϕ= ∇∫ ∫urÑ ( )21 4 43.3 3 3 dS rdV r r r r rVS pi pi⇒ = ∇ = =∫ ∫ uuur r r Ñ Từ (1) và (2), ta đươc: 40 0. . 4 3 3 0 . 3 R A R r r R B rot A rot r µ µ δ δ ω pi ω pi µ δ ω    = =      → = =   ur ur r ur r ur ur ur r ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 . . . . . 23 , . . 3 . . 0, 0 rot r divr r r div r divr r B R r div r ω ω ω ω ω ω ω ω ω µ δ ω ω ω   = − ∇ + ∇ −   = ∇ = → = ∇ = =  ur r rur ur r r ur ur r rur ur ur r ur uur r ur ur r Đề 11.Một mach dao động gôm cuộn tư cam L và một tụ điện phăng co điện tich môi ban băng S, môi trương giưa cac ban co độ dày băng d và hăng số điện môi ε . Tinh chu kỳ dao động cua mach , cho biêt L = 0.1 H; S = 500 2cm , d = 1 mm, 02ε ε= , R=0. Bai giai: - Cương độ điện trương do môi ban gây ra: E σ ε = Ta co: E = -grad d d Edx dx ϕϕ ϕ= − → = − 0 0 0 d d d d Edx dx dσ σϕ ϕ ε ε ⇒ = = − = − = −∫ ∫ ∫ Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Điện dụng cua tụ C sẽ là: q s sC dd σ ε σϕ ε = = = Vi dong điện chay trong L, C, co R=0, coi không co thê điện động ngoai lai : ( ) 0nξ = Ta co: ( ) 2 2 2 2 1 10 0 .sin . d I I if dt LC LC I I I A t ω ω ω ϕ • •   + = = ÷  → + = ⇔ = + Trong đo: Tân số dong: 2 12 . 2 . 2 . . f T LC sT LC L d pi ω pi ε pi pi = = = → = = Thay số, ta đươc: ( ) 2 50 3 9 2 0,1.5.10 .22 . . 2 9,4.10 sec 10 .4 .9.10 sT L d ε pi pi pi − − − → = = = Đề 12. Chưng minh răng vơi cac song phăng đơn săc, nêu thê vector A ur thoa man phương trinh ( )0.expA A i kr tω= −ur ur rr thi cac vector điện trương và từ trương thoa man cac hệ thưc: .B i k A va E i Aω = =  ur r ur ur ur # Bai giai: - Ta co: B rot A= ur ur Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. - Trong đo: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 .exp .exp .exp x x y y z z A A i kr t A A i kr t A A i kr t ω ω ω = − = − = − rr rr rr - Ta đươc: - x y z x zy z x y i j k B rot A x y z A A A y z x yi j kx z A AA A A A B ik A   ÷∂ ∂ ∂ ÷ = =  ÷∂ ∂ ∂ ÷ ÷  ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂  ÷  ÷ ÷∂ ∂ ∂ ∂= − +∂ ∂ ÷  ÷ ÷ ÷ ÷  ÷     → = r r r ur ur r r r ur rur - Vây phương trinh Macxell dang: ( )0. .exp . B rot A ArotE rot t t t AE A i i kr t t i A ω ω ω  ∂ ∂ ∂ = − = − = −  ÷∂ ∂ ∂  ∂ → = − = − − ∂ = − ur ur ur ur ur ur ur rr ur Đề 13: Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính các bản là: 1 2 ,R R , khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau. Bài giải: - Điện trường bên ngoài quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích ρ , hệ số điện môi ε là: Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. 1 34 : R re rE r e dien tich hinh cau ban kinh Rpi ε ≤ =  r ur - Hiệu điện thế giữa hai bản tụ: 22 2 2 1 2 11 1 1 1 2 3 2 2 1 1 4 4 4 1 1 4 RR R R R R RR R R R R e r e eU Edr dr dr r r r eU R R pi ε pi ε pi ε pi ε = − = − = − =   ⇔ = − ÷  ∫ ∫ ∫ r ur r r r - Điện dung của tụ cầu: ( ) 1 2 1 2 1 22 1 4 1 11 1 4 R R e eC R R U e R RR R pi ε pi ε = = = →  − − ÷  pW Đề 14. Hai tụ điện có điện dung bằng 1 2,C C ; điện tích bằng 1 2,e e , được mắc song song với nhau. Tính và giải thích sự biến đổi điện tích tĩnh điện của chúng? Bài giải: - Năng lượng các tụ khi chưa đấu nối với nhau: 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 22 2 1 22 2 2 2 2 1 1W 2 2 1W W W 21 1W 2 2 q e C C e e C Cq e C C  = =    ⇒ = + = +  ÷  = =  - Năng lượng các tụ khi được đấu nối song song với nhau: ( ) 221 2 ' 1 2 1 2 1 2 1 1W 2 2 C C C e ee e e e C C C = + + ⇒ = = = + + - Sự biến đổi năng lượng tĩnh điện: Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ' 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1W W W 2 2 1 0 2 e e e e C C C C eC e C CC C C +   ∆ = − = − + ÷ +   − − = ≤ + - Vậy năng lượng của hai tụ giảm . Đề 15. Một vật dẫn hình trụ dài vô tận, có một lỗ rỗng hình trụ dài vô tận. Trong phần đặc của vật có dòng điện mật độ là j. Tính từ trường trong phần rỗng? Bài giải: - Từ trường trong phần rỗng là sự chồng chập của hai từ trường:  Từ trường do hình trụ lớn gây ra.  Từ trường do phần trụ rỗng gây ra. - Xét điển M bất kì lắm trong lỗ rỗng  Từ trường do hình trụ lớn gây ra tại M:  1. Áp dụng công thức dòng toàn phần dưới tích phân do dòng điện không đổi: Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. 1 2 1 1 1 1 1. 2 2C jRH dl I j S RH j R Hpi pi= = ⇒ = ⇒ =∫ uur uurÑ  2. Theo công thức Bioxava: Do: ( )1 ,H j r⊥uur r r Ta được: 1 1 . 2 H j r =   uur r r  Từ trường do hình trụ rỗng gây ra: Với mật độ j thì cảm ứng từ tại M do phần rỗng O gây ra với 1OM r= uuuur r : ' 2 1 . 2 H j r = −  uruuur r - Vậy từ trường tổng hợp tại M là: ( ) ( ) 1 2 0 0 1 1 . ' 2 1 . OO 2 H H H j r r H j r r  = + = −   ⇒ = =  uur uur uuur r r r uur r ur ur uuuur 1 3 . 4 j rIH dV rpi    = ∫ r r uur Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Theo đ nh lí O-G:ị Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Đi u ki n liên t c:ề ệ ụ Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Đi u ki n liên t c:ề ệ ụ Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh. Bài tập điện động lực học. Trương Văn Thanh.