Đại số tuyến tính Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Đại số tuyến tính Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 7.2 – Chéo hóa ma trận. 7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởima trận trực giao. 7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. 7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. 7.6 – Dạng toàn phương 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- v Av u Au Ví dụ. 3 2 1 0 A        1 1 u        2 1 v       Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác không, sao cho .Ax x  Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A tương ứng với trị riêng . Tính và . Hãy cho biết nhận xét.Au Av 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải 1 6 6 24 5 2 5 20                Au Ví dụ 1 6 5 2 A       6 5 u      3 2 v      Véctơ nào là véctơ riêng của A? Ta có 4.Au u  là véctơ riêngu 1 6 3 9 5 2 2 11                Av Không tồn tại số để Av v không là véctơ riêngv 6 4 4. 5 u         7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. Xét hệ phương trình 1Ax x Ví dụ. 3 4 6 5 A       1 21; 3    Số nào là trị riêng củaA? 1 1 2 2 3 4 1 6 5 x x x x                  1 2 1 2 4 4 0 6 6 0 x x x x       Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không, ví dụ 1 1 x       khi đó 1 .Ax x Vậy là trị riêng. 1 Kiểm tra tương tự thấy không là trị riêng.2 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hệ thuần nhất có nghiệm khác không Vậy là trị riêng khi và chỉ khi là nghiệm của phương trình đặc trưng.   Giả sử là trị riêng của ma trậnA0 0 0 0 00 :x Ax x   0 0 0 0Ax x   0 0( ) 0A I x   0det( ) 0A I   Đa thức gọi là đa thức đặc trưng củaA.( ) det( )AP A I   được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A. det( ) 0A I  7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước 1. Lập phương trình đặc trưng det( ) 0. A I (Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theo ) Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n. Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng là trị riêng củaA và ngược lại. Bước 3. Tìm VTR củaA tương ứng TR (chẳng hạn)1 1( ) 0. A I Xbằng cách giải hệ phương trình Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứng với trị riêng 1. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng tương ứng với trị riêng đó. Định nghĩa Không gian nghiệm của hệ được gọi là Định nghĩa không gian con riêng ứng với TR , ký hiệu 1( ) 0A I X  1 1E Bội đại số của trị riêng là bội của trị riêng trong phương trình đặc trưng.  Định nghĩa  7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bội hình học của trị riêng luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội đại số của nó. Định lý Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính. Định lý Bội hình học của trị riêng lớn hơn hoặc bằng 1 ( 0). Chú ý  7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. 3 1 1 2 4 2 1 1 3          A det( ) 0A I  Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của các kgian con riêng ứng. Lập phương trình đặc trưng củaA: 3 1 1 2 4 2 0 1 1 3         2 1( 2) ( 6) 0     BĐS = 2 BHH chưa biết?1 2 Trị riêng BĐS = 1 BHH = 12 6 Trị riêng 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1( ) 0 A I X 1 2 1 2 3 1 0 0 1 1 1 x x x x x                             Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát 1 0 0 , 1 1 1                         là cơ sở của kgian con riêng 1 2 E E  1 2 3 3 1 1 2 4 2 0 1 2 1 3 2 2 x x x                  Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với 1 2.   1 dim( ) 2E  Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con riêng ứng với trị riêng 2 6.  7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. 1 1 1 1 1 1 1 1 1                    A Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của các kgian con riêng ứng của ma trận vuông cấp n. Xét phương trình đặc trưng: det( ) 0A I  Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng 1, ta có thừa số chung là suy ra là trị riêng thứ 2.( )n  2 n  Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằng .1 0  Tương ứng với TR xét hệ thuần nhất 1( ) 0A I X 1 0  Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của TR này bằng n – 1, suy ra BĐS của lớn hơn hoặc bằng n -1.1 Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa! 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1) là trị riêng củaA0 Ví dụ. Cho là trị riêng của ma trận vuông A.0 1) Chứng tỏ là trị riêng của ma trậnAm.0 m 2) Giả sửA khả nghịch, chứng tỏ là trị riêng củaA-1. 0 1  0 0 0 00 :x Ax x   0 0 0 0. ... . .... mA x A A Ax A A A x  0 0... m x  Chứng tỏ là trị riêng củaAm.0 m 7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức là cùng chung tập trị riêng). Định lý Giả sử hai ma trậnA và B đồng dạng, tức là 1( ) .P P AP B  det( )B I 1det( )P AP I  1 1det( )P AP P IP   1det( ( ) )P A I P  1det( ).det( ).det( )P A I P  det( )A I  VậyA và B cùng đa thức đặc trưng. Hai ma trận đồng dạng có cùng trị riêng nhưng các véctơ riêng thì khác nhau. Chú ý. 7.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận chéo. Định nghĩa Tức là tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho 1P AP D  trong đó D là ma trận chéo. Không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được. Chéo hóa ma trận A là tìm ra ma trận khả nghịch P và ma trận chéo D. Ta phân tích cấu trúc của ma trận P và cấu trúc ma trận D. Giả sử ma trận vuông A chéo hóa được bởi ma trận P và D. 11 1 1 n n nn a a A a a               11 1 1 n n nn p p P p p                *1 *2 *nP P P  1 2 0 0 0 0 0 0 n D                       7.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------ Trong đó là các cột thứ 1, thứ 2, …., thứ n tương ứng của ma trận P. *1 *2 *, ,..., nP P P 11 11 1 1 1 1 n n n nn nnn a a p AP a a p p p                         Cột thứ nhất củaAP là: 7.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------ AP PD 1P AP D Ta có *1AP Cột thứ nhất của PD là 111 1 1 0n n nn n p PD p p p                      *11P Vậy *1 1 *1AP P Hay là trị riêng củaA.1 là véctơ riêng củaA tương ứng với trị riêng*1P 1. 7.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------ Hoàn toàn tương tự ta thấy: Tất cả các cột của ma trận P là các véctơ riêng củaA. Các phần tử nằm trên đường chéo của D là các trị riêng củaA. Vì P là ma trận khả nghịch nên tất cả các cột (các véctơ riêng củaA) độc lập tuyến tính. Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n véctơ riêng độc lập tuyến tính. Định lý Nếu ma trận vuông A cấp n có đúng n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được. Hệ quả 1. 7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng. Hệ quả 2 (thường sử dụng trong bài tập) Giả sử phương trình đặc trưng củaA là 2 1( 2) ( 3) 0    1 3   Bội đại số = 1 Bội hình học = 1 2 2  Bội đại số = 2 Bội hình học = ? Để tìm BHH của TR ta tìm chiều của không gian con riêng (khgian nghiệm) tương ứng của hệ 2 2  2( ) 0.A I X  Nếu BHH của bằng 2, thì BHH của cả hai trị riêng bằng BĐS của chúng, suy ra A chéo hóa được để tạo nên ma trận P. 2 2  Trong trường hợp này, ta chọn đủ 3 VTR độc lập tuyến tính: 1 VTR ứng với và 2 VTR ứng với .1 2 7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng. Xác định bội đại số của từng trị riêng. Các bước chéo hóa ma trận vuông A cấp n. Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị riêng. Tìm cơ sở của các không gian con riêng. Xác định bội hình học của trị riêng. Bước 3. Nếu bội hình học của một TR nào đó nhỏ hơn BĐS của TR này thì A không chéo hóa được. Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa được. Ma trận P có các cột là các cơ sở của những kgian con riêng. Các phần tử trên đường chéo chính của D là các trị riêng. 7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Chéo hóa ma trậnA (nếu được). 1 3 3 3 5 3 3 3 1 A             Bước 1. Tìm tất cả các trị riêng củaA 3 2 20 det( ) 3 4 ( 1)( 2)A I              1 1  Bội đại số = 1 Bội hình học = 1 2 2   Bội đại số = 2 Bội hình học = ? 7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước 2. Tìm 3 véctơ riêng độc lập tuyến tính của A 1 1 Cơ sở : 1 1 1 1          v 2 2  Cơ sở : 2 3 1 1 1 ; 0 0 1 u u                     Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.1 1    1 1 2 3 0 3 3 0 3 6 3 0 3 3 0 0 x A I X x x                              7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước 3. BHH của 22 dim( ) 2E   = BĐS của .2 BHH của 11 dim( ) 1E   = BĐS của .1 VậyA chéo hóa được. 1 1 1 1 1 0 1 0 1           P 1 0 0 0 2 0 0 0 2 D           Thiết lập ma trận P: Thiết lập ma trận D: Chú ý: các cột của ma trận P có thể đổi chổ cho nhau, miễn sao TR và VTR tương ứng nằm trên cùng một cột. 7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 6. Chéo hóa ma trậnA (nếu được). 2 4 3 4 6 3 3 3 1 A             3 2 20 det( ) 3 4 ( 1)( 2)A I              1 1 1 1 u          2 1 1 0 u          Cơ sở : 1 1  Cơ sở: 2 2   BĐS của là 2 lớn hơn BHH của .2 2   2 Suy ra A không chéo hóa được. 7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. a) Chéo hóa ma trậnA nếu được. 5 0 0 0 0 5 0 0 1 4 3 0 1 2 0 3 A              b) Tính A100 2 20 det( ) ( 5) ( 3)A I       1 2 8 16 4 4 ; 1 0 0 1 u u                           Cơ sở : 1 5  7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 4 0 0 0 0 ; 1 0 0 1 u u                          Cơ sở : 2 3   8 16 0 0 4 4 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 P              5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 D            1 P AP D 1 A PDP 100 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )      A PDP PDP PDP PDP 1 1100 1 1( ) ( )    A PD DP PD PP DPP P 100 100 1A PD P   7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm ma trận vuông thực cấp 3 có ba trị riêng là 2, -3, 1 A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận D như sau: có 3 véctơ riêng tương ứng là 1 2 3 2 1 1 1 ; 2 ; 1 1 1 1 x x x                               2 1 1 1 2 1 1 1 1 P          2 0 0 0 3 0 0 0 1 D          Suy ra ma trận vuông cần tìm là 1A PDP  7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n và j =1,…,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT) Định nghĩa ma trận đối xứng thực Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu A-1=AT. Định nghĩa ma trận trực giao 1/ 2 2 / 18 2 / 3 0 4 / 18 1/ 3 1/ 2 2 / 18 2 / 3            P 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Ma trận vuông A là ma trận trực giao nếu các cột của A tạo nên họ trực chuẩn. Hệ quả Để thiết lập ma trận trực giao ta dùng hệ quả sau. Ma trận vuông A được gọi là chéo hóa trực giao nếu tồn tại ma trận trực giao P và ma trận chéo D sao cho A = PDP-1=PDPT. Định nghĩa 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho A là ma trận đối xứng thực. Khi đó các mệnh đề sau đúng: Định lý 1. Trị riêng củaA là những số thực. 2. Ma trận A chéo hóa trực giao (tương đương bội hình học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng) 3. Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì vuông góc với nhau. Chú ý: ma trận vuông tùy ý chưa chắc chéo hóa được Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được bởi ma trận trực giao P. 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng. Các bước chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực. Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị riêng. Tìm cơ sở TRỰC CHUẨN của các kgian con riêng. Bước 3. Ma trận P có các cột là các cơ sở TRỰC CHUẨN của những kgian con riêng. Các phần tử trên đường chéo chính của D là các trị riêng. Chú ý: Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được nên không cần xác định bội đại số và bội hình học. Để tìm cơ sở trực chuẩn của một không gian con riêng nào đó ta chọn một cơ sở tùy ý rồi dùng quá trình Gram – Schmidt (nếu cần). 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 20 det( ) ( 7) ( 2)A I        1 2 1 1 0 ; 2 1 0                    x xCơ sở của không gian con riêng : 1 7 E Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực sau: 3 2 4 2 6 2 4 2 3          A Ví dụ Lập phương trình đặc trưng 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 1 0 ; 1           f x Trực chuẩn hóa, tìm cơ sở trực chuẩn của : 1 7 E 1/ 181/ 2 0 ; 4 / 18 1/ 2 1/ 18                         E 2 1 2 2 1 2 1 1 1 ( , ) 4 ( , ) 1             x ff x f f f f Dùng quá trình Gram – Schmidt, tìm cơ sở trực giao của không gian con riêng : 1 7 E { }1 2,F f f 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 1 ; 2         x Cơ sở của không gian con riêng có một véctơ nên đó cũng là cơ sở trực giao: 2 2E   Cơ sở trực chuẩn của 2 E 3 2 / 3 1/ 3 ; 2 / 3         f 1 1 2 18 40 18 1 1 2 18 2 3 1/ 3 2 3                   P 2 0 0 0 0 7 7 0 0         D Vậy ma trận trực giao P và ma trận chéo D là: 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 3, để tìm cơ sở trực giao (rồi trực chuẩn) của không gian con riêng có chiều bằng hai, ta có thể không sử dụng quá trình Gram – Schmidt. Trong ví dụ trước ta có thể tìm cơ sở trực giao của như sau: 1 E Kgian con riêng là kgian nghiệm của hệ 1( ) 0A I X  1 2 2 1 2 x x x x x           Chọn một véctơ của cơ sở 1 1 0 1 f          Tìm véctơ còn lại ở dạng 1 2 2 2 1 2 x x f x x          sao cho 2 1f f 1 2 1 0x x x    Chọn suy ra1 1x  2 2x  Vậy véctơ thứ hai là: 2 1 4 1 f          7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm ma trận đối xứng thực cấp 3 (khác với ma trận chéo) sao cho có ba trị riêng là .1 2 32; 1; 1      A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D. 2 0 0 0 1 0 0 0 1 D          Theo đề bài ta có ma trận chéo: Cần tìm một ma trận trực giao P. Chọn một cơ sở tùy ý (khác với cơ sở chính tắc) của R3: { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E  Dùng quá trình Gram – Schmidt đưa E về cơ sở trực giao, sau đó trực chuẩn hóa, ta được cơ sở trực chuẩn. Các cột của ma trận trực giao P là cơ sở trực chuẩn này. Kết luận. Ma trận đối xứng thực cần tìm: 1 TA PDP PDP  7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A là ma tr