Toán tài chính cơ bản và ôn tập Toán – Thống kê

TOÁN TÀI CHÍNH CƠ BẢN & ÔN TẬP TOÁN – THỐNG KÊ Lê Văn Lâm 1 Nội dung · Lãi và lãi suất . Thời giá của tiền tệ . Nhắc lại kiến thức Toán & Thống kê có liên quan 2 1. Lãi và lãi suất 3 Định nghĩa lãi (interest) và lãi suất (interest rate): . Lãi là chi phí mà người vay mượn tài sản phải thanh toán cho người chủ sở hữu tài sản như một sự đền bù về việc sử dụng tài sản. . Lãi suất là lợi suất mà tại đó tiền lãi được người đi vay thanh toán cho người cho vay. 1. Lãi và lãi suất 4 Phân loại: . Lãi suất danh nghĩa & lãi suất thực . Lãi đơn & lãi kép . Lãi suất tỷ lệ & lãi suất tương đương Lãi đơn 5 · Tiền lãi chỉ sinh ra trên vốn gốc . Cách tính: I là tiền lãi sinh ra trên vốn gốc A, lãi suất r trong thời gian n I A r n   Lãi kép 6 · Tiền lãi sinh ra trên cả vốn gốc lẫn lãi . Cách tính: I là tiền lãi sinh ra trên vốn gốc A, lãi suất r trong thời gian n (1 ) nI A r A    Lãi kép 7 · Vốn gốc: A . Kỳ ghép lãi đầu tiên: . Kỳ ghép lãi thứ hai: . Kỳ ghép lãi thứ n: . Lãi sau n kỳ: 2(1 ) (1 ) (1 )A r A r r A r         (1 )A A r A r     (1 ) nA r  (1 ) nI A r A    Lãi kép – Ghép lãi nhiều lần 8 · Vốn gốc A, lãi suất r (%/năm), thời gian n (năm) và ghép lãi m lần: .Gốc lẫn lãi: .Lãi: 1 n mrA m        1 n mrI A A m          Lãi kép – Ghép lãi liên tục Với 9 r nI A e A   1lim 1 s s e s       11 1 m n r r n mrA A mm r                     11 s r n A s          ms r  Lãi suất tỷ lệ 10 · Quy đổi lãi suất theo đơn vị thời gian t1 (vd: năm) sang lãi suất theo đơn vị thời gian t2 (vd: tháng); trong đó một đơn vị t1 tương đương m đơn vị t2. . Ví dụ: Lãi suất công bố 12%/năm. r tháng = 12%/12 = 1%/tháng 2 1t tr r m  Lãi suất tương đương 11 · Sử dụng trong trường hợp muốn quy đổi lãi suất theo đơn vị thời gian t1 thành lãi suất theo đơn vị thời gian t2 cho cùng một số tiền bằng nhau. 2 1(1 ) (1 ) m t tr r   2. Thời giá tiền tệ 12 · Giá trị tương lai (Future value) . FV cho một khoản tiền . FV cho một chuỗi tiền đều . Giá trị hiện tại (Present value) . PV cho một khoản tiền . PV cho một chuỗi tiền đều Giá trị tương lai cho một khoản tiền 13 Ví dụ: Gửi ngân hàng 1 tỷ đồng trong vòng 10 năm. Lãi suất công bố 14%/năm, ghép lãi theo năm. Tính số tiền nhận được 10 năm sau? Riêng tiền lãi là bao nhiêu? Tính lại nếu ghép lãi theo tháng? (1 ) nF V P V r   Giá trị tương lai cho một chuỗi tiền đều 14 . Thế nào là chuỗi tiền đều? Ví dụ: lương cơ bản hằng tháng, tiền học phí mỗi kỳ, . Hai thuộc tính: số tiền bằng nhau & phát sinh định kỳ . Chuỗi tiền đều có thể phát sinh đầu kỳ hoặc cuối kỳ. Giá trị tương lai cho một chuỗi tiền đều 15 . Nguyên tắc: . Công thức tính tổng một cấp số nhân gồm n số hạng, công bội q 1 2( ) ( ) ... ( )nFV FV C FV C FV C    1(1 ) 1 n n a qS q     Giá trị tương lai cho một chuỗi tiền đều 16 . Cuối kỳ: . Đầu kỳ: (1 ) 1nrFV C r         (1 ) 1 (1 ) nrFV C r r           Giá trị tương lai cho một chuỗi tiền đều 17 Mỗi tháng thu nhập của bạn trung bình là 10 triệu. Mang thu nhập ấy gửi định kỳ ngân hàng với lãi suất 14%/năm. 20 năm sau giá nhà là 20 tỷ đồng. Bạn có cơ hội mua nhà không? Nếu muốn mua nhà 20 năm sau thì mỗi tháng bạn phải có thu nhập bao nhiêu? Hàm Excel: FV, Rate, Pmt, PV, Nper. Giá trị hiện tại cho một khoản tiền 18 Ví dụ: Bạn muốn có 10 tỷ sau 5 năm.Trung bình mỗi năm, lợi suất trên thị trường chứng khoán là 15%. Hiện tại bạn phải đầu tư bao nhiêu? (1 ) nPV FV r    Giá trị hiện tại cho một chuỗi tiền đều 19 . Nguyên tắc: . Công thức tính tổng một cấp số nhân gồm n số hạng, công bội q 1(1 ) 1 n n a qS q     1 2( ) ( ) ... ( )nPV PV C PV C PV C    Giá trị hiện tại cho một chuỗi tiền đều 20 . Cuối kỳ: . Đầu kỳ: 1 (1 ) nrPV C r         1 (1 ) (1 ) nrPV C r r           3.Nhắc lại kiến thức có liên quan 21 · Đạo hàm . Ma trận . Hồi quy tuyến tính Đạo hàm 22 Cho hàm số biến số thực y = f(x), xác định trên khoảng (a;b). Xét x = x0 thuộc (a;b). Đặt Δx = x − x0 Đặt Δy = f(x)-f(x0) Đạo hàm của hàm số y tại x0 được định nghĩa là: ' 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim limy x x x x f x x f xdyf x dx              Ma trận 23 Ma trận A gồm m hàng và n cột: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ( ) ... ... ... ... ... 1,2,..., 1, 2,..., n n mn ij m m mn a a a a a a A a a a a i m j n                Ma trận 24 ( ) ( )ij ijA A a a          . Cộng một số với ma trận: . Nhân một số với ma trận: . Cộng hai ma trận (cùng số cột và số hàng) ( ) ( )ij ijA A a a        ( ) ( ) ( )ij ij ij ijA B a b a b     Ma trận 25 .Nhân hai ma trận: columnj( ) ( ) ( ) ; ; ij rowi m n m p p n C AB c A B C A B       Ma trận 26 . Ma trận hoán vị: 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2' 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... nm n m n m mn m m mn n n mn a a a a a a a a a a a a A A a a a a a a                           Ma trận 27 . Ngoài ra sinh viên có thể tìm hiểu thêm các khái niệm về ma trận vuông, ma trận chéo, ma trận đơn vị, ma trận nghịch đảo, Phân tích hồi quy tuyến tính . Đặt vấn đề: Mối quan hệ giữa chiều cao và cân nặng? . Mô hình hóa mối quan hệ giữa các biến bằng cách sử dụng hàm số. . Chiều cao = f(cân nặng), ví dụ: chiều cao = α + β*cân nặng; hoặc: chiều cao = β*cân nặng . Phân tích hồi quy tuyến tính là phân tích mối quan hệ giữa một biến phụ thuộc với một hay nhiều biến độc lập bằng cách sử dụng hàm tuyến tính. 28 Phân tích hồi quy tuyến tính . . Có T quan sát theo thời gian t = 1, 2, , T . Yt: Giá trị ở thời gian t của biến mà bạn muốn giải thích (biến phụ thuộc) . Xkt: Giá trị ở thời gian t của biến thứ k giải thích cho Yt, k = 1, 2, , K (biến độc lập hoặc biến giải thích) . Ut: sai số ở thời gian t (vì sao cần có sai số trong mô hình?) 0 1 1 2 2 ...t t t K Kt tY X X X u         29 Phân tích hồi quy tuyến tính . Sử dụng ma trận để biểu diễn mối quan hệ giữa Y và X: Y = Xβ + u . Với: 11 1 0 1 1 12 2 1 2 2 1 1 ... 1 ... ; ; ; ... ... ... ... ... ... ... 1 ... K K T KT K T T X X u Y X X u Y Y X u X X u Y                                                     30 Phân tích hồi quy tuyến tính . Mô hình tuyến tính: Y = Xβ + u . Không biết vector β chính xác là bao nhiêu. Cần phải ước lượng! . Hàm hồi quy tuyến tính: . Phương pháp ước lượng đơn giản và phổ biến nhất là sử dụng βOLS (ước lượng bình phương tối thiểu) để: . Có thể áp dụng các phần mềm thống kê (SPSS, Stata, Eview, Excel,) để tìm βOLS 31 Phân tích hồi quy tuyến tính . . Nếu: . Vậy trong ma trận X, cột đầu tiên nhằm giải thích cho trung bình của Y 32   1' 'OLS X X X Y  ' 1 ' 1 1 1 1(11) 1 ... 1 T OLS t t X Y Y Y T                     Phân tích hồi quy tuyến tính . R- squared và R-squared hiệu chỉnh để đo lường sức mạnh của biến độc lập: 33 ^ ^ Y Y X u Y X e       T-statistic và standard error . Standard error (sai số tiêu chuẩn): là ước lượng mẫu của độ lệch chuẩn của ma trận phương sai-hiệp phương sai βOLS – β . Hệ số t-statistic: 34 (0,1) OLS k k k k t statistic N se      Kiểm định t (t-test) . Thực hiện kiểm định t (t-test): Giả thiết: β = 0 . Nếu giả thiết đúng, với xác suất trong 95% của tất cả các mẫu, chúng ta được giá trị tuyệt đối của t-statistic < 1.96 (-1.96 < t <1.96) . Nếu t-statistic nhỏ hơn -1.96 hoặc lớn hơn 1.96, cả 2 điều sau đây đều đúng: 1.Giả thiết trên đúng (β = 0) nhưng mẫu chúng ta chọn rơi vào 5% còn lại (rất hiếm xảy ra!) 2. Giả thiết sai. Như vậy chúng ta bác bỏ giả thiết, nghĩa là chấp nhận β khác 0, nói cách khác tham số có ý nghĩa về mặt thống kê. 35 Kiểm định t (t-test) 36 Vậy bác bỏ giả thiết β = 0 khi t 1.96 cũng tương đương như khi p-value <5% Xử lý hồi quy trong Excel Cài đặt công cụ Data Analysis trên Excel 2007: . Nhấn vào biểu tượng Excel phía bên tay trái bảng tính . Chọn Excel options . Chọn Add-Ins/ Analysis Toolpak/ Manage: Excel Add-Ins/ Go . Check vào Analysis Toolpak/OK . Chọn Yes khi Excel hỏi bạn có muốn cài đặt để chạy add-ins này không 37 Xử lý hồi quy trong Excel . Bước 1: Có bảng dữ liệu như sau, với Y là biến phụ thuộc, X1 và X2 là các biến độc lập 38 Xử lý hồi quy trong Excel . Bước 2: Data/ Data Analysis/ Regression/OK . Bước 3: Chọn vùng dữ liệu cho các biến, chọn nơi để truy xuất kết quả hồi quy, và các options khác 39 Xử lý hồi quy trong Excel 40 Xử lý hồi quy trong Excel 41